Matthias Claßen wird in den Dokumenten des Stadtarchives für ehemalige Stadtratsmitglieder unter den Berufsbezeichnungen Leiter AOK Bitburg und Verwaltungsdirektor geführt. Nach dem Krieg war er zusammen mit den Stadtratsmitgliedern Josef Niederprüm, Ferdinand Butz und Johann Tholl an der Gründung der CDU nach dem zweiten Weltkrieg beteiligt. In seiner ersten Periode im Stadtrat war Claßen Mitglied des Rechnungs- und Personalausschuss. In seiner zweiten Periode von 1960 bis 1964 war er ebenfalls im Personalausschuss sowie im Rechnungsprüfungsausschuss. Zudem wurde er 1960 zusammen mit Johann Ernst für die Unterzeichnung der Niederschriften der Stadtratssitzungen bestimmt.